看 Mathologer 的一期视频有感，在此做研究。

1=23−1=23−23−1=23−23−23−…2=23−2=23−23−2=23−23−23−…}⇒1=2\left. \begin{aligned} 1=\dfrac{2}{3-1}=\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-1}}=\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-\dots}}}\\ 2=\dfrac{2}{3-2}=\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-2}}=\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-\dfrac{2}{3-\dots}}}\\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow\boxed{1=2}

1=21=2？这怎么可能？然而视频也没有解释，而是卖了个关子。

在评论区很多都是说类似于「有理数不能表示成无限连分数的形式」的解释，但是只要 aa 和 bb 是实数，用同样的伎俩：

a=aba+b−a=aba+b−aba+b−a=aba+b−aba+b−aba+b−…b=aba+b−b=aba+b−aba+b−b=aba+b−aba+b−aba+b−…}⇒a=b\left. \begin{aligned} a=\dfrac{ab}{a+b-a}=\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-a}}=\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dots}}}\\ b=\dfrac{ab}{a+b-b}=\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-b}}=\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dots}}} \end{aligned} \right\}\Rightarrow\boxed{a=b}

那么我们要怎么推翻它呢，当然是找出它的解了。

考虑到式子中包含本身，我们不妨设 g=aba+b−aba+b−aba+b−…g=\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dfrac{ab}{a+b-\dots}}}，因此：

g=aba+b−gg(a+b−g)=ab(−1)g2+(a+b)g+(−ab)=0g=−(a+b)±(a+b)2−4×(−1)×(−ab)2×(−1)g1=a , g2=b\begin{aligned} g&=\dfrac{ab}{a+b-g}\\ g(a+b-g)&=ab\\ (-1)g^2+(a+b)g+(-ab)&=0\\ g&=\dfrac{-(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-4\times(-1)\times(-ab)}}{2\times(-1)}\\ g_1=a\ &,\ g_2=b\\ \end{aligned}

因此真相就水落石出了。

原式子是一个二次方程，因此有它两个解，我们将这两个解误认为是一个解，于是就认为他们相等。就像下面的「证明」：

∵(+2)2=4 , (−2)2=4∴(+2)=(−2)\begin{aligned} &\because(+2)^2=4\ ,\ (-2)^2=4\\ &\therefore(+2)=(-2) \end{aligned}