本文仅作科普，相关结论比较基础，请读者自行证明.

二次曲线

定义

方程

$\Gamma(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$

形成的曲线称为二次曲线，也称圆锥曲线. 其中 $A^2+B^2+C^2\not=0$.

由此可知五点确定一条二次曲线.

退化二次曲线的方程形如

$\Gamma(x,y)=(A_1x+B_1y+C_1)(A_2x+B_2y+C_2)=0$

可以发现退化二次曲线就是二次曲线五点中有三点共线的情况.

除此之外可以知道，两条二次曲线相交至多有四个交点.

分类

$二次曲线 \left\{\begin{aligned} &非退化二次曲线 \left\{\begin{aligned} &圆\\ &椭圆\\ &双曲线\\ &抛物线\\ \end{aligned}\right.\\ &退化二次曲线 \left\{\begin{aligned} &两条相交直线\\ &两条平行直线\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned}\right.$

曲线类型的判断

假设二次曲线 $\Gamma(x,y)=0$ 的 $\Delta=\begin{vmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{vmatrix},\delta=\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2 \\D/2&E/2&F\end{vmatrix}$.

• $\delta=0$ 时二次曲线为退化二次曲线. 此时

  $\Delta$	$>0$	$=0$	$<0$
  曲线形状	一个点	两条平行/重合直线	两条相交直线
  由什么退化得到	椭圆	抛物线	双曲线

• $\delta\not=0$ 时二次曲线为非退化二次曲线. 此时

  $\Delta$	$>0$	$=0$	$<0$
  曲线形状	椭圆	抛物线	双曲线
  特殊情况	$A=C,B=0$ 时为圆		$A+C$ 时为等轴双曲线

二次曲线系

定义

过二次曲线 $\Gamma_1(x,y)=0$ 和 $\Gamma_2(x,y)=0$ 交点的二次曲线系为

$\Gamma_3(x,y)=\lambda\Gamma_1(x,y)+\mu\Gamma_2(x,y)=0$

特点

• $\Gamma_3$ 过 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 的交点，且不与 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 交于其它点.

• 如果 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 在某个切点相切，则 $\Gamma_3$ 也在这个点相切，常见于两个曲线交点少于四个的情况.

  注：退化二次曲线在交点处切线方向任意，在其它点的切线方向与所在直线的直线方向相同.

使用方法

• 令 $\Gamma_3$ 表示成具有相同性质的二次曲线 $\Gamma_0$，只需令 $\Gamma_3$ 和 $\Gamma_0$ 对应项系数相等，解方程即可.

  当使用 $\mu=1$ 的形式时：

  $\Gamma_3(x,y)=\lambda\Gamma_1(x,y)+\Gamma_2(x,y)=0$

  此时 $\Gamma_3$ 与 $\Gamma_0$ 形状可以一样，但方程不一定相同，即两个方程相差一个倍数，对应项的比相同.

  优先比较 $x^2,y^2,C$ 项系数，因为其涉及的变量一般比较少. 除此之外，一般不需要对比所有系数.

• 计算 $\Gamma_3$ 的 $\Delta,\delta$ 使其为某一类型曲线.

• 与直线联立，得到的解为曲线系与直线的交点，再进一步使用韦达定理进行说明.

• 若曲线系过某点 $(x_0,y_0)$，则将该点代入可以解出 $\lambda$ 的值.

相关模型

二次曲线系可以解决绝大多数极点极线为背景的问题. 除此之外再给出几个应用场景.

一类定点问题

二次曲线 $Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 上一点 $P$ 引出两条斜率为 $k_1,k_2$ 的直线交该二次曲线于 $A,B$​. 则

$k_1k_2或(k_1+k_2)为定值\iff AB过定点或AB斜率为定值$

一个小结论

过一点引出两条有斜率的直线与二次曲线 $Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 相交于四点，且该四点共圆. 则两条直线的斜率之和为 $0$.

证明：

设二次曲线和两条直线构成的二次曲线系为 $\lambda(Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F)+(y-k_1x-b_1)(y-k_2x-b_2)=0$.

令其表示成一个圆，则曲线系的 $xy$ 项系数为 $0$. 即 $k_1+k_2=0$，证毕.

坎迪定理

两条二次曲线 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 相交于 $A,B,C,D$ 四点，$AC\cap BD=O$. 过 $O$ 作直线交 $\Gamma_1,\Gamma_2$ 于 $E,F$ 和 $G,H$. 则有

$\dfrac1{|OG|}-\dfrac1{|OE|}=\dfrac1{|OH|}-\dfrac1{|OF|}$

证明：

以 $GH$ 为 $x$ 轴，$O$ 为原点建立坐标系. 不妨设 $H,F$ 在 $x$ 轴正半轴.

设 $\Gamma_1(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,AC:y=k_1x,BD:y=k_2x$.

当 $y=0$ 时由韦达定理知 $\dfrac1{|OF|}-\dfrac1{|OE|}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-D}{F}$.

可知 $\Gamma_2$ 总能用曲线系 $\lambda\Gamma_1(x,y)+(y-k_1x)(y-k_2x)=0$ 表示，当 $y=0$ 时由韦达定理知

$\dfrac1{|OH|}-\dfrac1{|OG|}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-D}{F}=\dfrac1{|OF|}-\dfrac1{|OE|}$

即 $\dfrac1{|OG|}-\dfrac1{|OE|}=\dfrac1{|OH|}-\dfrac1{|OF|}$，证毕.

蝴蝶定理是坎迪定理的弱化版：增设条件 $|OE|=|OF|$，证明 $|OG|=|OH|$.

二次曲线的切线

这里为了贴合高考，仅抛砖引玉地给出了非退化二次曲线的标准方程的切线方程推导.

本质上是两个二次曲线构造曲线系后通过调整 $\lambda$ 的值使其为一条直线，并证明该直线是二次曲线的切线.

椭圆

过 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1-\dfrac{{(x-x_0)}^2}{a^2}-\dfrac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=0\quad(*)$ 即

$\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1$

证明：

显然 $P(x_0,y_0)$ 在 $(*)$ 上，若异于 $P$ 一点 $Q(x_1,y_1)$ 在 $(*)$ 上则有

$\dfrac{{(x_1-x_0)}^2}{a^2}+\dfrac{{(y_1-y_0)}^2}{b^2}=0$

即 $x_1=x_0,y_1=y_0$，即 $P=Q$，矛盾. 因此 $(*)$ 与椭圆仅有一个交点.

综上 $(*)$ 为椭圆切线.

双曲线

过 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线为 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-1-\dfrac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\dfrac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=0\quad(*)$​ 即

$\dfrac{xx_0}{a^2}-\dfrac{yy_0}{b^2}=1$

证明：

显然 $P(x_0,y_0)$ 在 $(*)$ 上，若异于 $P$ 一点 $Q(x_1,y_1)$ 在 $(*)$​ 上则有

$\dfrac{{(x_1-x_0)}^2}{a^2}=\dfrac{{(y_1-y_0)}^2}{b^2}$

即 $PQ$ 与渐近线平行，矛盾. 因此 $(*)$ 与双曲线仅有一个交点.

若 $(*)$ 与渐近线平行，则 $\pm\dfrac1b\cdot\dfrac{x_0}{a^2}=\dfrac1a\cdot\dfrac{y_0}{b^2}$ 即 $P$ 在渐近线上，矛盾.

综上 $(*)$ 为双曲线切线.

抛物线

过 $y^2=2px$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 的切线为 $y^2-2px-{(y-y_0)}^2=0\quad(*)$​ 即

$yy_0=p(x+x_0)$

证明：

显然 $P(x_0,y_0)$ 在 $(*)$ 上，若异于 $P$ 一点 $Q(x_1,y_1)$ 在 $(*)$​ 上则有

${(y_1-y_0)}^2=0$

即 $y_1=y_0$，即 $P=Q$，矛盾. 因此 $(*)$ 与抛物线仅有一个交点.

综上 $(*)$ 为抛物线切线.