下面的内容主要来源于 Matrix67 博客内一篇文章。

文章内有这么一句话：

不断取数字英文表达的字符数，最后总会得到数字 $4$。

以 $11$ 为一个栗子，他的英文表达是 eleven。

eleven 有 $6$ 个 字符，$6$ 的英文表达是 six，six有 $3$ 三个字符，$3$ 的英文表达是 three…

我们可以画出 $11$ 变成 $4$ 的全过程：

$11$(eleven)$\to6$(six)$\to3$(three)$\to5$(five)$\to4$(four)

你会发现，无论是什么数字，它最终都会变成 $4$。

人类的古老智慧

如果要证明，你会怎么证明？

其实稍加思索，你会发现其实挺好解释的。

古时候的人们，用一竖代表 $1$，用两竖代表 $2$，用三竖代表 $3$…但他们意识到，写 $1000$ 的时候，总不可能写一千个竖吧，于是人们就想到了用特殊符号代表一个数，例如古罗马人就用 V 代表 $5$，中国人用百代表 $100$。

所以说，将数字写成英文的过程中，字符数一定比原数字要小（对于大部分数字来说，这是对的）。如果你花点时间尝试一下，对于 $10$ 以内的数字，最后也会变成 $4$。实际上，$4$ 是唯一一个字符数与数字本身相等的数字。

从英文到其他语言

当然，这种聪明的计数方法并不是英文的权利。世界各国的语言，恐怕没有哪个语言在表示 $10000$ 的时候要写一万个竖吧。

在知名数列网站 oeis.org 数列号 A005589 中的 COMMENTS 一段可以看到这么一句话：

戴安娜·卡洛夫（Diane Karloff）对上面的观察结果的解释：

在许多语言中，都有一个数字 N，在 N 以后所有数字都用比数字本身少的字母书写。N在英语，德语和保加利亚语中为 4，在俄语中为 11。

如果在间隔 [1,N] 中存在等于其字母数的数字，则它们是吸引子。

在英语和德语中，唯一的吸引子是 4，在保加利亚语中是 3，在俄语中是 2、3 和 11。

在区间 [1,N] 中，也可能存在数字循环，例如保加利亚语中的 4（6 个字母）和 6（4 个字母）或俄语的 4、5 和 6（分别为 6、4 和 5 个字母）。英文没有循环，因此上述观察是正确的。

另外，我研究了一下中文（计算其笔画），发现有三个吸引子：一、二和三。以及一个循环：四和五。

数字之和？数字之积？

这让我联想起大概是小学时，曾经试过将数字的每一位求和或求积。

数字之和

不断取数字每一位的和，最后总会小于 $10$。

每一位的和，还有一个好听的名字：数字根。

还记得小学学习整除的时候，是怎么判断一个数是否能被三整除的吗？

如果一个数字的每一位的和能被三整除，整个数字就能被三整除。

这个判断法则，我们曾经用过无数遍，加起来是因为数字变小了，数字也更好判断能否被三整除了。可是为什么数字会变小呢？

证明很简单，任何一个数字 $n$ 都能写成 $(\dots+100a_2+10a_1+a_0)$ 的形式，其中 $a_0,a_1,a_2\dots$是 $n$ 从右往左的每一位数字。那么每位数字之和为 $(\dots+a_2+a_1+a_0)$，我们将每一个对应项进行比较：

• $a_0=a_0$。
• $a_1\le10a_1$，并且只有当 $a_1=0$ 时 $a_1=10a_1$。
• $a_2\le100a_2$，并且只有当 $a_2=0$ 时 $a_2=100a_2$。
• 后面的项以此类推。

所以说，数字 $n$ 一定大于等于它的每一位数字之和，并且只有当 $a_1=a_2=\dots=0$ 时相等，此时 $n<10$。

番外：为什么「如果一个数字的数字根能被三整除，整个数字就能被三整除」

拿上面的 $n$ 继续讲，如果你用 $n$ 减去它的数字根，你会得到$\dots+99a_2+9a_1$，而这个大块头一定能被 $3$ 整除，因为它每一项系数全都是九构成的。那么因为 $n$ 等于大块头加上它的数字根，如果数字根能被三整除，那 $n$ 就能被整除了。

了解更多：A031286 和 A10888。

数字之积

不断取数字每一位的积，最后总会小于 $10$。

举个栗子， $728\xrightarrow{7\times2\times8}112\xrightarrow{1\times1\times2}2$。

假设一个数字 $n$ 有 $m$ 位，它同样可以写成 $10^{m-1}a_{m-1}+10^{m-2}a_{m-2}+\dots+10^2a_2+10a_1+a_0$ 的形式。此时每位数字之积为 $a_{m-1}\times a_{m-2}\times\dots\times a_2\times a_1\times a_0$。

注意到数字表达式的第一项 $10^{m-1}a_{m-1}=a_{m-1}\times\underbrace{10\times\dots\times10}_{(m-1)个10}$，将其与每位数字之积对应项进行比较：

• $a_{m-1}=a_{m-1}$。
• $a_{m-2}<10$，因为 $a_{m-2}$ 只是一位数字（即 $0\le a_{m-2}\le9$）。
• 后面的项以此类推。

所以，我们可以知道数字 $n$ 一定大于等于它的每一位数字之积，并且只有当 $n$ 只有一位数字时相等。

了解更多：A031346 和 A031347。