这是高中数学知识点汇总系列的第七篇.

定义

• 虚数单位 $\mathrm i$: 满足 ${\mathrm i}^2=-1$ 的数.

• 几何上, 建立直角坐标系表示复数. 复平面 / 高斯平面: 复数所在该平面. 实轴: x 轴; 虚轴: y 轴.

  $复数\ z=a+b\text i\leftrightarrow复平面上的点\ Z(a,b)\leftrightarrow平面向量\ \overrightarrow{OZ}$

• 复数的表示形式:

  • 代数表示式(代数形式): $z=a+b\text i\quad(a,b\in\R)$.

    三角表示式(三角形式): $z=r(\cos\theta+\text i\sin\theta)\quad(r\ge0,\theta\in\R)$. (极坐标思想)

    指数表示式(指数形式): $z=re^{\text i\theta}\quad(r\ge0,\theta\in\R)$.

  • 其中实部 $\mathrm{Re}(z)$$=a=r\cos\theta$; 虚部 $\mathrm{Im}(z)$$=b=r\sin\theta$;

    模 / 绝对值 $|z|$$=r=|\overrightarrow{OZ}|=|a+b\text i|=\sqrt{a^2+b^2}$;

    辐角 $\theta=\text{Arg}z$: 以 x 轴的非负半轴为始边, $\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角, $\tan\theta=\dfrac{b}{a}$;

    辐角主值 $\text{arg}z$: 满足 $\theta\in[0,2\pi)$ 的辐角.

    注: $z=0\iff\overrightarrow{OZ}=\bold{0}$, 即 $0$ 的辐角是任意的.

基础知识

• 相等判断:

  $a+b\text i=c+d\text i\iff a=c,b=d\iff |a+b\text i|=|c+d\text i|,\text{arg}(a+b\text i)=\text{arg}(c+d\text i)$

• 数集分类:

  $复数\mathbb C=\{a+b\text i|a,b\in\R\} \left\{\begin{aligned} &实数\R(b=0) \left\{\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} &有理数\mathbb Q \left\{\begin{aligned} &整数\Z \left\{\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} &奇数\\ &偶数\\ \end{aligned}\right.\\ & \left\{\begin{aligned} &自然数\N \left\{\begin{aligned} &正整数\N_+ 或 \N^*\\ &0\\ \end{aligned}\right.\\ &负整数\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned}\right.\\ &分数\\ \end{aligned}\right.\\ &无理数\\ \end{aligned}\right.\\ & \left\{\begin{aligned} &正数\R_+\\ &0\\ &负数\R_-\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned}\right.\\ &虚数\mathbb I(b\not=0) \left\{\begin{aligned} &纯虚数(a=0,b\not=0)\\ &\cdots\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned}\right.$

  注: 实数又称小数; 有理数由有限小数和无限循环小数组成; 无理数又称无限不循环小数.

  注: 单数是大于零的奇数; 双数是大于零的偶数.

• $\{\text i^n\}$ 的最小正周期为 4.

四则运算与运算律

• 加减法 $(a+b\text i)\pm(c+d\text i)=(a\pm c)+(b\pm d)\text i$. (几何意义: 平面向量加减法)

  加法交换律 $z_1+z_2=z_2+z_1$, 加法结合律 $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

• 乘法 $(a+b\text i)(c+d\text i)=(ac-bd)+(ad+bc)\text i$; $\left(r_1e^{\text i\theta_1}\right)\left(r_2e^{\text i\theta_2}\right)=(r_1r_2)e^{\text i(\theta_1+\theta_2)}$.

  交换律 $z_1z_2=z_2z_1$; 结合律 $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$; 分配律 $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$.

• 除法 $\dfrac{a+b\text i}{c+d\text i}=\dfrac{(a+b\text i)(c-d\text i)}{(c+d\text i)(c-d\text i)}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\text i\quad(c+d\text i\not=0)$;

  $\dfrac{r_1e^{\text i\theta_1}}{r_2e^{\text i\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}e^{\text i(\theta_1-\theta_2)}\quad(r_2e^{\text i\theta_2}\not=0)$.

• 乘除法口诀: 模相乘除, 辐角相加减; 乘除法几何意义: 复平面中构造相似三角形.

共轭复数及其性质

• 共轭复数 $\overline z$: 实部相等, 虚部互为相反数. (几何意义: 关于实轴对称)

  若 $z=a+b\text i=r(\cos\theta+\text i\sin\theta)=re^{\text i\theta}$ 则 $\overline z=a-b\text i=r(\cos\theta-\text i\sin\theta)=re^{-\text i\theta}$.

• 性质:

  • $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}$.
  • $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\Rightarrow \overline{z^n}={\overline z}^n$; $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\quad(z_2\not=0)$.
  • $\overline{\overline z}=z$.
  • $z为实数\iff\overline z=z$; $z为纯虚数\iff\overline z=-z且z\not=0$.

模的性质

• $|z_1z_2|=|z_1||z_2|\Rightarrow|z^n|={|z|}^n$(本质: 拉格朗日恒等式); $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}\quad(z_2\not=0)$.
• $|z|=|\overline z|$.
• $z\overline z=|z|^2$(本质: 平方差公式; 几何意义: 子母型相似), 推论: $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline z}{|z|^2}$. (分母实数化)
• 斜边大于直角边: $|z|\ge|\text{Re}(z)|$, $|z|\ge|\text{Im}(z)|$.
• 三角形不等式: $||z_1|-|z_2||\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$.

辐角的性质

• $\text{Arg}(z_1z_2)=\text{Arg}z_1+\text{Arg}z_2\Rightarrow\text{Arg}z^n=n\text{Arg}z$.
• $\text{Arg}\dfrac{z_1}{z_2}=\text{Arg}z_1-\text{Arg}z_2$.
• $\text{Arg}\overline z=-\text{Arg}z$.

欧拉公式

• 欧拉公式: $e^{\text i\theta}=\cos\theta+\text i\sin\theta$.
• 棣莫弗公式: ${\left(\cos\theta+\text i\sin\theta\right)}^n=\cos{(n\theta)}+\text i\sin{(n\theta)}$. (配合二项式定理可推导 $n$ 倍角公式)
• 1 的 $n$ 次方根 $\sqrt[n]{1}$ 为 $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+\text i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\quad(k\in\{0,1,\cdots,n-1\})$ 共 $n$ 个.
  • $n=3$ 时 $\omega_0=1,\omega_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}\text i}{2},\omega_2=\dfrac{-1-\sqrt{3}\text i}{2}$.
  • 几何意义: 单位圆的 $n$ 等分点, 且其中必有 $(1,0)$.
  • 性质 $\forall k\in\{0,1,\cdots,n-1\}$:
    • $\omega_k^n=1,|\omega_k|=1$.
    • $\sum\limits_{t=0}^{n-1}\omega_k^t=0$.
    • $\omega_k$ 与 $\omega_{n-k}$ 互为共轭复数.

应试技巧

• 复数问题通法：实数化，设未知数为 $a+b\text i\ (a,b\in\R)$ 或 $r(\cos\theta+\text i\sin\theta)\ (r\ge0,\theta\in\R)$.

• 常用速算(可用复数的三角形式辅助记忆):

  式子	$\dfrac{1}{\pm\text i}$	$\dfrac{1\pm\text i}{1\mp\text i}$	$\dfrac{2\text i}{1\pm\text i}$	$\dfrac{2}{1\pm\text i}$
  结果	$\mp\text i$	$\pm\text i$	$1\pm\text i$	$1\mp\text i$

• 不要求结果为代数形式时, 也可用三角形式表示, 但注意三角形式的条件.

• 一些公式:

  • $(a+b\text i)(a-b\text i)=a^2+b^2$.
  • $(a+b\text i)(b+a\text i)=(a^2+b^2)\text i$.
  • $(a\pm b\text i)^2=(a^2-b^2)\pm 2ab\text i$.
  • $\dfrac{1}{\cos\theta+\text i\sin\theta}=\cos\theta-\text i\sin\theta$.