[研究] 爱の方程式

· 2022-11-29 · # 函数 # 方程

说到爱的方程式，大家一定不陌生。

其中最著名的是笛卡尔的心形线 $r=a(1-\cos\theta)$ 的故事，但这个是在极坐标系下的方程。在平面直角坐标系下，心形线的方程是 $x^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}$ （下图是 $a=1$ 的情况）。

关于这个故事，读者可以自行了解。而本文讨论的是平面直角坐标系内的方程。

从椭圆开始

我们熟知，（焦点在 x 轴上的）椭圆的标准方程为

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

那么，如果焦点不在坐标轴上，椭圆方程又是什么样子的呢？

显然，只需要将标准椭圆旋转一定角度，再进行平移，就可以得到一切椭圆的方程了。

将椭圆平移是简单的，这里我们将问题简化，先考虑标准椭圆的旋转。

复数立大功

关于旋转，连接角度与长度的一大桥梁便是三角函数。而复数又与三角函数密切相关，这里我们处理的原理是复数乘法的几何意义——模相乘，辐角相加。

假设复平面上的点 $P=x+y\mathrm i$ 满足 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，那么将 $P$ 逆时针旋转 $\theta$ 后得到的 $P'$ 满足

\begin{aligned} P'&=P(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)\\ &=(x\cos\theta-y\sin\theta)+\mathrm i(x\sin\theta+y\cos\theta) \end{aligned}

假设 $P'=x'+y'\mathrm i$ ，那么就有

\left\{ \begin{aligned} x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta \end{aligned} \right.

于是解得

\left\{ \begin{aligned} x&=x'\cos\theta+y'\sin\theta\\ y&=y'\cos\theta-x'\sin\theta \end{aligned} \right.

再将其代回标准方程化简：

\begin{aligned} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}&=1\\ b^2x^2+a^2y^2&=a^2b^2\\ b^2(x'\cos\theta+y'\sin\theta)^2+a^2(y'\cos\theta-x'\sin\theta)^2&=a^2b^2\\ (b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta){x'}^2+(b^2-a^2)x'y'\sin{2\theta}+(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta){y'}^2&=a^2b^2 \end{aligned}

于是，我们就得到了椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 逆时针旋转 $\theta$ 后的方程：

(b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta)x^2+(b^2-a^2)xy\sin{2\theta}+(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)y^2=a^2b^2

椭圆变爱心

为了计算简便，我们取 $a=4,b=2,\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ，那么旋转后的方程就是

5x^2-6xy+5y^2=16

方程所表示的曲线长这样子：

我们观察其在 y 轴右边的部分，它非常像爱心的一半，那么我们只需要让 y 轴左边的部分和右边的部分对称，就可以得到爱心方程。

既然爱心方程关于 y 轴对称，也就是说如果 $(x,y)$ 满足方程，则 $(-x,y)$ 也满足方程。

于是我们自然而然地想到——将方程中的 $x$ 全部替换为 $|x|$ ，那么方程就变成了：

5x^2-6|x|y+5y^2=16

那我们就做完了，这是它所表示的曲线：

事实上，你可以对椭圆旋转不同的角度以得到不同的爱心方程，我这里为了方便计算只旋转了 $\dfrac\pi4$ 。

填充颜色

如果我们要对爱心填充颜色，那么就需要将等号改成不等号。

先考虑椭圆的标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ，如果 $(x_0,y_0)$ 在椭圆内，设 $(x_0,y_1)$ 在椭圆上，显然会有 $|y_0|<|y_1|$ ，那么 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}<\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1$ 。