一切尺规作图能够完成的操作，直尺作图都能做到。

当然，直尺是画不了圆的，你只需要知道这个圆的圆心和半径即可。

什么是直尺作图

顾名思义，就是只使用直尺作图，直尺要满足这四个特点：

1. 没有刻度
2. 无限长度
3. 带有单位宽度
4. 直尺的两边都是直线且平行
   
   另外，它只能进行如下操作：
5. 过两点作一条直线
6. 把线段向两端无限延伸
7. 过一条线作距离为单位长度的平行线（即用尺子的一条边与一条直线对齐，在另一边作平行线）
8. 给定距离不小于单位长度的两点，作距离为$1$的两条平行线，且这两条平行线经过这两点（即把尺子卡在两个点上并作平行线）
9. 有限次执行上述操作

我们称上面这五条为规则。

知道这些基础知识后，我们就可以开始了。

怎么证明

如何证明一个作图法与可以完成尺规作图的操作？

首先，你为什么要用尺规？

因为直尺可以作直线，圆规可以作圆，而我们不断找着这些图形的交点，然后再作图。

那么理由无非只有三个：

1. 找出直线与直线的交点
2. 找出直线与圆的交点
3. 找出圆与圆的交点

所以，假如你要证明尺规作图的操作，仅用直尺也能作出来，就需要我们证明仅使用直尺及其规则完成上面三点内容即可。

那么，让我们拿起这块基石，一点一点地搭建起几何的大厦吧！

开始证明

中点

如图所示，已知线段$AB$，求作$AB$中点。

过程：

在$AB$单位长度上方作平行线$l$
在$l$上方任意取一点$C$
连接$AC$交$l$于$D$，连接$BC$交$l$于$E$
连接$DB,AE$交于$F$
连接$CF$并延长到$G$，那么$G$为$AB$中点

证明：

由塞瓦定理得$\frac{CD}{DA}\times\frac{AG}{GB}\times\frac{BE}{EC}=1$
$\because l\parallel AB$
$\therefore\frac{DA}{CD}=\frac{BE}{EC}$
$\therefore AG=GB$

中垂线

如图所示，已知线段$AB$，求作$AB$中垂线。

过程：

过$A,B$两点作一对单位平行线$AD,BC$和$AC,BD$，相交于$C,D$。
连接$CD$，交$AB$与$E$，则直线$CD$为$AB$中垂线。

证明：

$\because AC=BC=BD=AD$
$\therefore ABCD$为菱形
又$\because$菱形两条对角线互相垂直平分
$\therefore CD$为$AB$中垂线

但是！你有没有发现什么？

如果$AB$小于单位长度呢？

没有问题！看图：

过程：

作$AB$中点$C$
过$C$任意一条直线，向左和向右作单位平行线交$AB$于$D$与$E$
作$DE$的中垂线，则$DE$的中垂线为$AB$的中垂线

可以知道，$DE$是必定大于单位长度的，所以可以仿照上面的方法作$DE$中垂线，又因为$AC=BC,DC=CE$，所以$DA=BE$，$DE$的中垂线即为$AB$的中垂线。

平行线

如图，已知直线$l$和$l$外一点$A$，求作过$A$的$l$的平行线。

过程：

在$l$上任意取一点$B$，连接$AB$，向左和向右作单位平行线分别交$l$于$C,D$
作$AB$中点$E$，连接$DE$并交于$F$
连接$AF$，则$AF$为$l$的平行线

证明：

$\because BC=BD$
$\therefore FE=ED$
又$\because AE=EB$
$\therefore \triangle AEF\cong\triangle BED$
$\therefore FA\parallel l$

垂线

如图，已知$l$与$l$外一点$A$，求作过$A$的$l$的垂线。

过程：

在$l$上任取两点$B,C$，作$BC$中垂线。
若中垂线在$A$上已完成，若不在，过$A$作$BC$中垂线的平行线交于$E$，则$AE$为过$A$的$l$的垂线。

证明不用写了吧，两直线平行，同位角相等。

角平分线

如图，已知$\angle BAC$，求作$\angle BAC$的角平分线。

过程：

过$AC$在$B$一侧作单位平行线交$AB$于$E$，过$AB$在$C$一侧作单位平行线交$AC$于$D$。
两条平行线交于$F$，连接$AF$，则$AF$为$\angle BAC$的角平分线。

证明：

$\because EF\parallel AC,FD\parallel AB$
$\therefore AEDF$为平行四边形
又$\because$平行四边形对角线平分内角
$\therefore \angle EAF=\angle FAD$

Tip:当$\angle BAC$为一些特殊角度时（如$180^\circ$或$360^\circ$时），这个方法就不管用了，不过这没什么影响，这种特殊角更容易作出角平分线。

线段的加减

如图，求作以$C$为圆心，$AB$为半径所作的圆与直线的交点。

这题其实就是想让你把$AB$挪到$C$所在这条直线上。

我们可以用类似于作平行线的方法将$AB$平移到$C$处

那么，$AB$就被平移到$CD$了。为了能让它在直线上，我们要把它旋转下来。

为了让它旋转下来，我们可以利用等腰三角形三线合一的性质。

$CD$与直线产生了两个角（下面那两个不算），我们分别平分他，再分别过$D$作这两条角平分线的垂线交于$G$和$F$。

因为$CE$平分$\angle DCF,DF\perp CE$，那么$\triangle DCF$等腰，因此$CD=CF$，另一边同理。

那么现在我们可以任意对两条线段进行加减操作了。

线段的乘除

因为你已经可以将一条线段移动到另一条线段上了，那么线段的乘除就会比较简单。

如图，已知线段$a$和$b$，求作$ab$长的线段和$\frac{a}{b}$长的线段。

过程：

$a$的两端点为$A,B$，过$A$作$AB$垂线
在$AB$上方作单位平行线交垂线于$D$，在垂线上截取$AC=b$
连接$DB$，过$C$作$BD$平行线交于$AB$延长线上的$E$，则$AE=ab$

证明：

$\because BD\parallel CE$
$\therefore \angle ADB=\angle ACE$
又$\because\angle DAB=\angle CAE$
$\therefore \triangle DAB\sim \triangle CAE$
$\therefore DA:CA=BA:EA$
$1:b=a:EA$
$EA=ab$

同理可作出$\frac{a}{b}$的长度。如下图$AE=\frac{a}{b}$。

平方根

如图，已知线段$AB$，求作线段$\sqrt{AB}$。

过程：

作出线段$AC$，使其长度为$\frac{AB+1}{AB-1}$
过$A,C$两点作一对单位平行线，并过$A$作他们的垂线交于$C$所在的平行线的$D$
在$AB$上方作单位平行线，作$\angle DAC$平分线交于平行线于$E$
过$E$作$AB$垂线交$AB$于$F$，则$AF=\sqrt{AB}$

证明：
可以算出$\angle DAC=\cos^{-1}\frac{AD}{AC}=\cos^{-1}\frac{AB-1}{AB+1}$，以及$\angle EAF=\tan^{-1}\frac{EF}{AF}=\tan^{-1}\frac{1}{AF}$。

又因为$2\angle DAC=\angle EAF$，所以$\large AF=\frac{1}{\tan(\frac{\cos^{-1}\frac{AB-1}{AB+1}}{2})}$。

利用半角公式，可以得出$AF=\sqrt{AB}$。

找出圆与直线的交点

既然我们可以只用直尺进行加减乘除开方运算了，那么...

如图，已知$C,AB,DE$，求以$C$为圆心，$DE$为半径的圆与$AB$的交点。

你的勾股定理可不是白学的。我们先过$C$作$AB$垂线，很明显，$GF=FH$，因为$GH$是圆的一根弦，弦的中垂线必定经过圆心。

所以$FH$的长度就是$\sqrt{CH^2-CF^2}$，即$\sqrt{DE^2-CF^2}$。这是一个只包含减法乘法开方运算的式子，因此我们可以把它作出来，从而得出$FH$的长度，自然也可以找出圆和直线的交点了。

找出圆与圆的交点

这是证明的最后一步了！

已知$A,B,CD,EF$。求作以$A$为圆心，$CD$为半径的圆与以$B$为圆心，$EF$为半径的圆的交点。

连接$AB$。我们可以得知$GI$垂直于$AB$（上面已经证过了）。

由图可知，我们已知$AG,BG$和$AB$的长度。设$AH=x$，由题意得：

$AG^2-AH^2=BG^2-BH^2$
$AG^2-x^2=BG^2-(AB-x)^2$
$x=\frac{AB^2+AG^2-BG^2}{2AB}$

很明显，我们可以把这个$x$作出来。

在$AB$上截取$AH$后，过$H$作$AB$垂线，那么只需要找出圆$A$与直线的交点即可。

参考资料

趣题：只用一把带有两条平行边的直尺作图 | Matrix67: The Aha Moments