十分抱歉，上周发烧了，没有写博客。

今天来讲一下我发现的一个开根号公式

$n=a^m+b$

$\sqrt[m]{n}\approx a+\frac{b}{ma^{m-1}}$

其中$|b|$越小越好

灵感来源

某一天做练习册的时候看到某道题估算某个数的平方根：

$n=a^2+b$
假设$\sqrt{n}=a+x(0<x<1)$
$n=(a+x)^2$
$n=a^2+2ax+x^2$
因为$x^2$太小我们直接扔掉，原式变成
$x=\frac{b}{2a}$
所以$\sqrt{n}\approx a+\frac{b}{2a}$

所以就想用类似的方法求$\sqrt[m]{n}$。

举个栗子

例如说我们要算$\sqrt{3}$

然后我们知道$3=2^2+(-1)$

所以$\sqrt{3}\approx 2+\frac{-1}{2\times2}=1.75$

但假如我们数字再大一点，会怎么样呢？

$10001=100^2+1,\sqrt{10001}\approx100+\frac{1}{2\times100}=100.005$

这已经很接近了！$\sqrt{10001}=100.004999875\dots$，这个公式得到的值准确率有$99.999999875\%$

假如我们试一下求$\sqrt[100]{2}$的值：$2=1^{100}+1,\sqrt[100]{2}\approx1+\frac{1}{100\times1^{99}}=1.01$，而$\sqrt[100]{2}=1.00695\dots$，准确率有$99.698\%$

所以我们可以总结出这个公式的优缺点：

• 开方数越大越精确
• $m$越大会越不精确（除非开方数大）

推导

其实推导也不难，只是纯粹的杨辉三角罢了

假设$n=a^m+b$并且$\sqrt[m]{n}=a+x(x<1)$
$\therefore n=(a+x)^m$
$n=a^m+ma^{m-1}x+\dots+max^{m-1}+x^m$

此时，我们可以将省略号全部去掉（因为这部分比较难计算），并且把$x^m$去掉（因为这部分太小了）

所以原本的式子就变成了

$n=a^m+max(a^{m-2}+x^{m-2})$

$b=max(a^{m-2}+x^{m-2})$

$\frac{b}{ma}=x(a^{m-2}+x^{m-2})$

$\frac{b}{ma}=xa^{m-2}+x^{m-1}$

然后因为$x^{m-1}$也很小，那么也扔掉，最后

$\frac{b}{ma}=xa^{m-2}$

$x=\frac{b}{ma^{m-1}}$

所以

$\sqrt[m]{n}=a+x$

$\sqrt[m]{n}=a+\frac{b}{ma^{m-1}}$

Update

Update 2019.10.4

十分感谢@jacky567 给出了一个改进后的方法。

当我们算出$a+\frac{b}{ma^{m-1}}$后，他已经接近$\sqrt[m]{n}$了。

因为我们说了，$|b|$越小越好，那么$a+\frac{b}{ma^{m-1}}$代入公式中的$a$，那么$b$就会更小，这时我们再迭代计算一遍，这个值就会更接近于$\sqrt[m]{n}$。

举个例子$\sqrt{2}$：

$2=1^2+1,\sqrt{2}\approx1+\frac{1}{2}=1.5$

$2=(1.5)^2+(-0.25),\sqrt{2}\approx1.5+\frac{-0.25}{3}=\frac{17}{12}=1.41\dot6$

$2=(\frac{17}{12})^2+(-\frac{1}{144}),\sqrt{2}\approx\frac{17}{12}-\frac{1}{408}=\frac{577}{408}=1.414\dot215686274509803\dot9$

$\dots$

以此类推，你会发现他的精确度越来越高。（$94.2809\%\to99.8268\%\to99.9998\%$）

那么只要你一直算下去，他就会更接近于$\sqrt{2}$。

其他开根号的方法

有牛顿迭代法、手算（夹逼法？）、无穷连分数近似法、以及一种神奇的开平方根的卡马克开方法，但是卡马克开方法只适用于计算机（如果是人算就算了吧）。

这些以后有时间再讲（又开了一个新坑）