前几天看《思考的乐趣》，发现这么一道有趣的题：

证明或推翻：$x^3+y^4=z^5$ 没有正整数解。

然而答案只有一句话：

原命题是错误的。由于 $2^{24}+2^{24}=2^{25}$，因此 $(2^8)^3+(2^6)^4=(2^5)^5$。

我于是想到，可以用类似的方法找到 $x^a+y^b=z^c\ \ (a,b,c为常数且为正整数)$ 的正整数解。经过不懈努力，我得出了一条结论：

若 $[a,b]$ 与 $c$ 互质，则 $x^a+y^b=z^c$ 必定有正整数解。

注：$[a,b]$ 指 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数。

思考过程

（为了方便阅读，除引用原书中的句子，我将常数 $\rm a,b,c$ 标为正体，变量标为斜体）

根据原题，题目可以化为：

$\begin{aligned} {(2^A)}^{\rm a}+(2^B)^{\rm b}&=(2^C)^{\rm c} \end{aligned}$

并且满足 $A{\rm a}=B{\rm b}$。它有无数组解，只需要使 $A=\dfrac{\rm[a,b]}{\rm a}g,B=\dfrac{\rm [a,b]}{\rm b}g$ 即可（$g$ 为任意整数）。

将 $A$ 和 $B$ 代回原方程，我们可以得到一个不定方程：

$\begin{aligned} {\rm[a,b]}g+1&=C{\rm c}\\ {\rm c}C+{\rm(-[a,b])}g&=1\\ \end{aligned}$

因为没有系统学习过不定方程的知识，不过最后还是在单樽教授的《奥数教程》七年级第七版的第 26 讲中找到了答案。里面介绍了一个定理：

整系数方程 $ax+by=c$ 有整数解的充分并且必要条件是 $a$ 与 $b$ 的最大公约数 $d$ 能整除 $c$。

因此，在上面的方程中，只要 $\rm(-[a,b])$ 和 $\rm c$ 的最大公约数能整除 $1$ 时，方程有解。而什么数字能整除 $1$ 呢？答案是：只有 $1$ 能整除 $1$。那么只要 $\rm(-[a,b])$ 和 $\rm c$ 的最大公约数为 $1$ 时，方程有解。另外注意，求最大公约数时，将数字取绝对值并不会影响结果，因此：当 $\rm [a,b]$ 和 $\rm c$ 互质时，方程一定有解。

但是，有解并不代表着有正整数解。于是我又在书中找到第二个定理：

若 $a$ 和 $b$ 的最大公因数为 $1$（即 $a$ 和 $b$ 互质），$x_0,y_0$ 为二元一次整系数不定方程 $ax+by=c$ 的一组整数解（也称为「特解」），则 $ax+by=c$ 的所有整数解（也称「通解」）为：

$\left \{ \begin{aligned} x&=x_0+bk\\ y&=y_0-ak\\ \end{aligned} \quad(k为任意整数) \right .$

如果我们找到 $g_0$ 和 $C_0$，那么通解就是：

$\left \{ \begin{aligned} g&=g_0+{\rm c}k\\ C&=C_0-{\rm(-[a,b])}k=C_0+{\rm[a,b]}k\\ \end{aligned} \quad(k为任意整数) \right .$

可以看到，只要 $k$ 的值足够大， 就一定能找到一组正整数的解。

具体证明

$\because[a,b]$ 与 $c$ 互质

$\therefore{\rm c}C+{\rm(-[a,b])}g=1$ 必有整数解

设 $g_0,C_0$ 为 ${\rm c}C+{\rm(-[a,b])}g=1$ 的特解，则其通解为

$\left \{ \begin{aligned} g&=g_0+{\rm c}k\\ C&=C_0+{\rm[a,b]}k\\ \end{aligned} \quad(k为任意整数) \right .$

当 $k$ 足够大时，必然存在 $g,C$ 使得 $g=g_0+{\rm c}k>0$ 且 $C=C_0+{\rm[a,b]}k>0$

$\therefore{\rm c}C+{\rm(-[a,b])}g=1$ 必有正整数解

此时

$\left({2}^{\frac{[a,b]}{a}g}\right)^a+\left({2}^{\frac{[a,b]}{b}g}\right)^b=\left({2}^C\right)^c$

实战训练

题目

求不定方程 $x^7+y^{11}=z^{13}$ 的一组正整数解。

答案

${2048}^{7}+{128}^{11}={64}^{13}$

过程

列出不定方程：

$\begin{aligned} {\rm c}C+{\rm(-[a,b])}g&=1\\ 13C-77g&=1 \end{aligned}$

找到一组正整数解：

$\left \{ \begin{aligned} g&=1\\ C&=6 \end{aligned} \right .$

因此：

$\begin{aligned} \left({2}^{\frac{[a,b]}{a}g}\right)^{7}+\left({2}^{\frac{[a,b]}{b}g}\right)^{11}&=\left({2}^C\right)^{13}\\ \left({2}^{11\times1}\right)^7+\left({2}^{7\times1}\right)^{11}&=\left({2}^{6}\right)^{13}\\ {2048}^{7}+{128}^{11}&={64}^{13}\\ \end{aligned}$