周三上奥数课，惨遭滑铁卢。

注意：本文为方便阅读，定义 $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。

发现问题

奥数课数学老师不在，让我和 RioBlu 来讲题，最后剩一段空余时间，我心血来潮要表演一个魔术：

“在这十个格子中，在前两个格子各填上一个正整数。当然，不要告诉我。让从第三个格子开始填，每个格子里的数是前两个格子的和，填到第九个格子为止。把第九个格子的数告诉我，我就可以告诉你第十个格子里的数。”

一通操作猛如虎，我将第十个格子算出了 $2239$，正确答案却是…

了解问题

秘诀

假设第九个格子的数字为 $n$，那么第十个格子的数字就是 $\left\lfloor\phi n+\dfrac{1}{2}\right\rfloor$（其中 $\lfloor x\rfloor$ 代表将 $x$ 向下取整）。

通俗点说，把第九个格子的数乘上 $\phi$，再四舍五入，就是第十个格子里的数了。

例如我填了 $2$ 和 $4$，那么前九个格子应该是这样的：

然后你把第九个格子的数字，也就是 $110$ 告诉我，我可以立马得出第十个格子的数是 $110\times\phi\approx178$，而事实真的是这样，$68+110=178$：

原理

如果我们假设第一个格子为 $a$，第二个格子是 $b$，那么第九个格子和第十个格子的值我们就已经确定了：

如果将第九个格子乘上 $\phi$，那么可以算出 $(13a+21b)\times\phi\approx21a+34b$，这正好是第十个格子的值。

分析问题

事实上，这种方法只能得到一个近似的值，如果这个估算值与真实值不相等，那么就会失误。因此，要保证万无一失，估算值与真实值必须相等：

$\left\lfloor\phi(13a+21b)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=21a+34b$

拿到这个方程的时候，我人都傻了，这种方程怎么解啊？

最后，我将它的函数图像画了出来，并花了两天时间找出了规律：

$\phi a-k<b<\phi a+k\quad\left(k=\left|\dfrac{1}{21(\sqrt{5}-1)-13\times2}\right|\right)$

因此，在课上的例子中 $a=100,b=4$，将 $a$ 代入上面的规律中可以算出 $138.3<b<185.2$，然而 $4$ 并不在这个范围内，所以估算值与真实值不相等。

解决问题

那么，我们要怎么避免出现这种尴尬情况呢？

一方面，我们可以算更多的格子。

事实上，相邻两个格子之间的比值会趋近于 $\phi$。通过观察上面的图我们发现，如果让对方填入前 $n(n\le3)$ 个格子，并将第 $n$ 个格子的值告诉你，那么这个值为 $F_{n-2}\cdot a+F_{n-1}\cdot b$。其中 $F_n$ 为斐波那契数列的第 $n$ 项。斐波那契数列就是前两个数为 $1$，从第三项开始每一项是前两项的和的数列，它长这样：$\{1,1,2,3,5,8,13,21,\dots\}$。

因此方程变成：

$\left\lfloor\phi(F_{n-2}\cdot a+F_{n-1}\cdot b)+\dfrac{1}{2}\right\rfloor=F_{n-1}\cdot a+F_{n}\cdot b$

那么模仿上面的规律，你可以先给对方规定 $a$ 和 $b$ 的范围：

$\phi a-k<b<\phi a+k\quad\left(k=\left|\dfrac{1}{F_{n-1}(\sqrt{5}-1)-F_{n-2}\times2}\right|\right)\\$

由于计算斐波那契数非常繁琐，因此利用斐波那契数列通项公式将 $k$ 化简一下得到：

$\phi a-k<b<\phi a+k\quad\left(k=\dfrac{\phi^{n-1}}{2}\right)\\$

然而，这还需要对方通过复杂计算自己的数字是否符合要求，魔术的气息瞬间就没了。因此另一方面，我们可以同时给 $a$ 和 $b$ 找一个范围，保证这个范围内的数绝对不会出错。

我结合函数图像的规律，舍大取小，得到 $n$ 对应的最大范围：

$0<a,b<\frac{\phi^{n-2}}{2}$

这样，你就可以在表演之前先计算好这个数字，然后在表演时让对方保证两个数字不超过这个范围。这样，既避免了失误，又保证了魔术的说服力。

你能表演一下吗？

（首先约定填到第九个格子，计算 $\dfrac{\phi^{9-2}}{2}\approx14.52$，因此范围为 $0<a,b<14.52$）

“来，你随便想两个不超过 $14$ 的正整数，填在前两个格子，不要给我看到。”

（ta 填入$14$ 和 $6$。当然，你看不到 ta 填了什么）

“填好了吗？然后从第三个格子到第九个格子，每个格子都是前两个格子的和，把它们也填进去。”

（如上）

“你的第九个格子是多少？”

“308。”

（计算 $308\cdot\phi\approx498$）

“第十个格子是 498。”

“哇好厉害，你怎么知道的？！”