昨天突然想起一道小学时曾经做过的题目。

题目

有一条长为 $s$ 的路 $AB$，甲和乙在 $A$ 点上，甲的速度为 $v_a$，乙的速度为 $v_b$（$v_a>v_b$）。甲乙同时向右运动。甲不断在乙和 $B$ 点之间运动（折返跑），直到乙到达 $B$ 点为止。求甲走的距离。

小学那时候一看这题，束手无策。可能那时也对数学不够重视吧，反正也不知道怎么做的。后来上了初中，第一次考试卷子就考这个，我人都傻了。好在觉悟够高，认真听了老师讲评，回忆了一下当时的做法，可谓是贻笑千载。

我的解法

如上图，每次算出红线的总长度，剩下的蓝线又可以表示成原图图中的形式（原问题的相同子问题）。

我们用 $\operatorname{f}(x)$ 来表示乙走一段长度为 $x$ 的路的总路程（即假如上图中黑色加上蓝色的线为总长度，那么乙走的路程就是红色的线），用 $\operatorname{g}(x)$ 来表示甲走一段长度为 $x$ 的路的总路程。

那么根据上图，我们可以使用相遇问题的公式，将红线加上绿线作为总路程，可以算出相遇时间为 $\frac{2x}{v_a+v_b}$。那么红线的长度就是 $\operatorname{f}(x)=\frac{2xv_b}{v_a+v_b}$，同理可得 $\operatorname{g}(x)=\frac{2xv_a}{v_a+v_b}$。

从 $\operatorname{g}(x)$ 中可以看出每次 $x$ 会缩小到原来的 $\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a}$ ，那么答案就是：

$\begin{aligned} &\sum\limits_{i=0}^\infty \operatorname{f}(s(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^i)\\ =&\frac{2sv_b}{v_a+v_b}(1+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^2+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^3+\cdots) \end{aligned}$

然后我们可以利用一个有名的幂级数公式：

$1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}\quad(|x|<1)$

注意只有当 $|x|<1$ 才能套入公式。因为 $v_a>v_b\ge0$，因此 $\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a}\in[0,1)$。因此我们可以套用上面的公式，于是：

$\begin{aligned} &\sum\limits_{i=0}^\infty \operatorname{f}(s(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^i)\\ =&\frac{2sv_b}{v_a+v_b}(1+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^2+(\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a})^3+\cdots)\\ =&\frac{2sv_b}{v_a+v_b}(\frac{1}{1-\frac{v_b-v_a}{v_b+v_a}})\\ =&\boxed{\frac{sv_b}{v_a}} \end{aligned}$

正解

因为甲和乙同时开始，同时停止，因此甲的运动时间等于乙的运动时间，通过题目易得运动时间为 $\frac{s}{v_b}$，再代入公式 $s=vt$ 得出甲的运动路程为 $\frac{sv_b}{v_a}$。

真的要贻笑千载了。

彩蛋：幂级数公式是怎么来的？

$\begin{aligned} 1+x+x^2+x^3+\dots&=g\\ x+x^2+x^3+x^4+\dots&=gx\\ (1+x+x^2+x^3+\dots)-(x+x^2+x^3+x^4+\dots)&=g-gx\\ 1&=g(1-x)\\ g&=\frac{1}{1-x} \end{aligned}$

$\therefore1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}\quad(|x|<1)$