前几天刚学勾股定理（说实在小学就会了），然后又见到了勾股树，于是研究了一下。

勾股树怎么画

方法比较简单：

1. 画一个正方形。
2. 在正方形上面紧贴画一个斜边为正方形边长的直角三角形（直角边自定），建议利用圆周角定理。
3. 在直角三角形的两条直角边上各画一个正方形。
4. 重复步骤$2,3$。记得每次画的直角三角形要与第一次画的三角形成比例。

如果你希望画出上面这种图，建议还是用几何画板迭代，百度上有很多的教程：戳我。

勾股树的性质

最基本的就是勾股定理了，上面两个正方形的面积和等于下面正方形的面积。

在一些题目中也会求树梢的面积和，例如下面：

已知$AB=6$，求$S4+S5+S6+S7$的和。

我们只需要记住一个公式，假如$S4,S5,S6,S7$属于第三层，$S2,S3$属于第二层，$S1$属于第一层，那么：

第$n$层正方形面积总和$=$第$(n-1)$层正方形面积总和$=\dots=$第$1$层正方形面积总和。

也就是说，$S4+S5+S6+S7=S2+S3=S1$。

问题迎刃解决。但这是为什么呢？

因为根据勾股定理，$S4+S5=S2$，$S6+S7=S3$，并且$S2+S3=S1$，那么$S4+S5+S6+S7=S2+S3=S1$。

这是我们便能推导出一个结论：

勾股树迭代无限次，面积会发散

很多人都会以为勾股树循环迭代，面积总是有限的，但是这只是表面上的，实际上，有许多面积被覆盖在一起。

因为刚刚说过，一层的面积他就等于最大的正方形的面积。

而我们每迭代一次，层数就会多一层。

也就是说每迭代一次总面积就加上最大的正方形的面积。

而如果迭代无限次，那么就相当于有无穷个正方形的面积相加，那么他就会发散。

求勾股树面积

三角形三边分别为$a,b,c$（$c$是直角边），迭代$n$层，那么如何求它的面积呢？

我们在上面已经知道了，迭代$n$层，所有正方形的面积就等于$(n+1)c^2$。

但是，我们还需要求出三角形的面积，这要怎么求呢。

可以联想到，上面的两个三角形的面积和等于下面三角形的面积。

我们用比例来证明它。

$\because FE:BC=ED:AB$
$BC\times ED=FE\times AB$
$\therefore FE=\frac{BC\times ED}{AB}$

又$\because FD:AC=ED:AB$
$AC\times ED=FD\times AB$
$\therefore FD=\frac{AC\times ED}{AB}$
$\therefore S_{\triangle FED}=\frac{FE\times FD}2=\frac{\frac{BC\times ED}{AB}\times\frac{AC\times ED}{AB}}2=\frac{BC\times AC\times(\frac{ED}{AB})^2}2=S_{\triangle ABC}\times(\frac{ED}{AB})^2=S_{\triangle ABC}\times(\frac{BC}{AB})^2$
同理可得$S_{\triangle HIG}=S_{\triangle ABC}\times(\frac{HG}{AB})^2=S_{\triangle ABC}\times(\frac{AC}{AB})^2$
$\therefore S_{\triangle FED}+S_{\triangle HIG}=S_{\triangle ABC}\times(\frac{BC}{AB})^2+S_{\triangle ABC}\times(\frac{AC}{AB})^2$
$=S_{\triangle ABC}\times(\frac{BC^2}{AB^2}+\frac{AC^2}{AB^2})$
$=S_{\triangle ABC}\times(\frac{BC^2+AC^2}{AB^2})$
$=S_{\triangle ABC}\times(\frac{AB^2}{AB^2})$
$=S_{\triangle ABC}$

所以，我们的猜想是正确的！

那么问题就简单了，每迭代一层，那层三角形的面积总和就是最大三角形的面积！

也就是说，迭代$n$层，三角形的面积增多$\frac{ab}{2}\times n$

综合起来，我们得到下面这么个公式：

三角形三边分别为$a,b,c$（$c$是直角边），迭代$n$层，它的面积是$(n+1)c^2+\frac{abn}{2}$